n個の未知数におけるn個の連立方程式，クラメールの公式

　仮に $m = n$ であって更に $A$ が正則行列つまり $A^{-1}$ が存在するなら，以下のように記述して (17) または (18) を解くことができます．

$X = A^{-1}R \cdots(19)$

更にこの連立方程式は一意解を持ちます．

　代わりに未知数 $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$ を以下のように表現することもあります．

$\displaystyle x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta},\ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta},\ \cdots,\ x_n = \frac{\Delta_n}{\Delta} \cdots (20)$

ここで $\Delta = \det(A)$ は 連立方程式の行列式 と呼び， (9) により与えられまた $\Delta_k,\ k = 1,\ 2,\ \cdots,\ n$ は $\Delta$ から k 番目の列を除去して列ベクトル $R$ に置換して与えられる行列式です．(20) に表した公式を クラメールの公式 と言います．

　下記の4つの場合が考えられます．

例 1, $\Delta \ne 0,\ R \ne 0$ . この場合一意解が存在するはずで，全てでない $x_k$ はゼロに違いありません．

例 2, $\Delta \ne 0,\ R = 0$ . この場合唯一の解は $x_1 = 0,\ x_2 = 0,\ \cdots,\ x_n = 0$ です．すなわち $X = 0$ です．しばしば 自明な解 と呼びます．

例 3, $\Delta = 0,\ R = 0$ . この場合自明解以外に無限に多くの解が存在するはずです．この時少なくとも一つの方程式が他の方程式から得られます．すなわちその方程式は線形従属です．

例 4, $\Delta = 0,\ R \ne 0$ . この場合 (20) におけるすべての行列式 $\Delta_k$ がゼロの時にのみ無限に多くの解が存在する筈です．他の場合は解は存在しません．

投稿者: admin

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