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## STOKE’S THEOREM

Let $S$ be an open, two-sided surface bounded by a closed non-intersecting curve $C$ (simple closed curve). Consider a directed line normal to $S$ as positive if it is on one side of $S$, and negative if it is on the other side of $S$. The choice of which side is positive is arbitrary but should be decided upon in advance. Call the direction or sense of $C$ positive if an observer, walking on the boundary of $S$ with his head pointing in the direction of the positive normal, has the surface on his left. Then if $A_1,\ A_2,\ A_3$ are single-valued, continuous, and have continuous first partial derivatives in a region of space including $S$, we have

$\displaystyle \int_C[A_1dx + A_2dy + A_3dz] =\\\vspace{0.2in} \underset{S}{\iint}\left[ \left( \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} \right)\cos\alpha + \left( \frac{\partial A_1}{\partial z} -\frac{\partial A_3}{\partial x} \right)\cos\beta + \left( \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y} \right)\cos\gamma \right]dS \cdots(38)$

In vector form with $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ and $\bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k}$, this is simply expressed as

$\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = \underset{S}{\iint}(\nabla\times\bold{A})\cdot\bold{n}dS\cdots(39)$

In words this theorem, called Stoke’s theorem, states that the line integral of the tangential component of a vector $\bold{A}$ taken around a simple closed curve $C$ is equal to the surface integral of the normal component of the curl of $A$ taken over any surface $S$ having $C$ as a boundary. Note that if, as a special case $\nabla\times\bold{A} = 0$ in (39), we obtain the result (28).

## ストークスの定理

$S$ を表裏のある開いた面とし，閉じた交差しない曲線 $C$ （単純閉曲線）で囲まれているとします． $S$ に垂直な直線が $S$ の一方の側にあれば正と考え， $S$ の反対側にあれば負と考えます．いずれの面が正となるかは任意ですが，あらかじめ決めておく必要があります．仮に観察者が $S$ の境界線上を歩きながら，その頭が正の法線方向を指していてその面を左に見ているなら $C$ の方向または反時計周りを正と呼びます．そこで仮に $A_1,\ A_2,\ A_3$ が単一値で連続で， $S$ を含む空間内のある領域において連続な一階偏微分を有するなら，以下を得ます．

$\displaystyle \int_C[A_1dx + A_2dy + A_3dz] =\\\vspace{0.2in} \underset{S}{\iint}\left[ \left( \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} \right)\cos\alpha + \left( \frac{\partial A_1}{\partial z} -\frac{\partial A_3}{\partial x} \right)\cos\beta + \left( \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y} \right)\cos\gamma \right]dS \cdots(38)$

ベクトルの形では $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ および $\bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k}$ これは以下のように簡潔に表現できます．

$\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = \underset{S}{\iint}(\nabla\times\bold{A})\cdot\bold{n}dS\cdots(39)$

つまりこの定理では， ストークスの定理 と呼びますが，単純閉曲線 $C$ に渡るベクトル $\bold{A}$ の接線要素の線積分は， $C$ を境界とする任意の面 $S$ に渡るベクトル $A$ の回転の法線要素の面積分に等しいと言えます．特殊例として (39) において $\nabla\times\bold{A} = 0$ とした場合，その結果 (28) を得ることに注意が必要です．

## THE DIVERGENCE THEOREM

Let $S$ be a closed surface bounding a region of volume $V$. Choose the outward drawn normal to the surface as the positive normal and assume that $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ are the angles which this normal makes with the positive $x$, $y$ and $z$ axes respectively. Then if $A_1,\ A_2$ and $A_3$ are continuous and have continuous partial derivatives in the region

$\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}(A_1\cos\alpha + A_2\cos\beta + A_3\cos\gamma)dS\cdots(35)$

which can also be written

$\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}[ A_1dydz + A_2dzdx + A_3dxdy ]\cdots (36)$

In vector form with $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ and $\bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k}$, these can be simply written as

$\displaystyle \underset{V}{\iiint}\nabla\cdot\bold{A}dV = \underset{S}{\iint}\bold{A}\cdot\bold{n}dS\cdots(37)$

In words this theorem, called the divergence theorem or Green’s theorem in space, states that the surface is equal to the integral of the normal component of a vector $\bold{A}$ taken over a closed surface is equal to the integral of the divergence of $\bold{A}$ taken over the volume enclosed by the surface.

## 発散定理

ガウスの発散定理とも呼ばれる定理です．発散を，ベクトル場 $\bold{A}$ 内における容積 V の単位体積あたりの湧出量と捉えると，定理の左辺の意味は『容積 V 内全体での流量の変化量』を表わすと考えられ，右辺は『この容積 V の表面 S における $\bold{A}$ の法線方向成分』と考えられます．流量には水流，電場，磁場などを考えます．

$S$ を容積 $V$ の領域を境する閉曲面とします．その面の外側に向けて引かれた法線を選択し 正の法線 とします．また $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ をこの法線が正の $x$ 軸，$y$ 軸及び $z$ 軸に対してそれぞれなす角とします．そこで仮に $A_1,\ A_2$ および $A_3$ が連続で，この領域で連続な偏微分を有するなら

$\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}(A_1\cos\alpha + A_2\cos\beta + A_3\cos\gamma)dS\cdots(35)$

ここで上記は以下のようにも記述できます．

$\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}[ A_1dydz + A_2dzdx + A_3dxdy ]\cdots (36)$

$\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ および $\bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k}$ のベクトルの形では，以下のようにシンプルに記述できます．

$\displaystyle \underset{V}{\iiint}\nabla\cdot\bold{A}dV = \underset{S}{\iint}\bold{A}\cdot\bold{n}dS\cdots(37)$

これを定理の言葉では 発散定理 または 空間におけるグリーンの定理 と呼び，その面は閉曲面にわたるベクトル $\bold{A}$ の法線要素の積分に等しいとの状態は，その面に囲まれた容積にわたる $\bold{A}$ の発散の積分に等しくなります．

## SURFACE INTEGRALS

Let $S$ be a two-sided surface having projection $\cal R$ on the $xy$ plane as in the adjoining Fig. 6-3. Assume that an equation for $S$ is $z = f(x, y)$, where $f$ is single-valued and continuous for all $x$ and $y$ in $\cal R$. Divide $\cal R$ into $n$ subregions of area $\Delta A_p,\ p = 1,\ 2,\ \dots,\ n$, and erect a vertical column on each of these subregions to intersect $S$ in an area $\Delta S_p$.

Let $\phi (x, y, z)$ be single-valued and continuous at all points of $S$. Form the sum

$\displaystyle \sum_{p=1}^{n}\phi(\xi_p, \eta_p, \zeta_p)\Delta S_p \cdots(29)$

where $(\xi_p, \eta_p, \zeta_p)$ is some point of $\Delta S_p$. If the limit of this sum as $n \rightarrow \infty$ in such a way that each $\Delta S_p \rightarrow 0$ exists, the resulting limit is called the surface integral of $\phi(x, y, z)$ over $S$ and is designated by

$\displaystyle \underset{S}{\iint}\phi(x, y, z)dS\cdots(30)$

Since $\Delta S_p = |\sec\gamma_p|\Delta A_p$ approximately, where $\gamma_p$ is the angle between the normal line to $S$ and the positive $z$ axis, the limit of the sum (29) can be written

$\displaystyle \underset{\cal R}{\iint}\phi(x, y, z)|\sec\gamma|dA\cdots(31)$

The quantity $|\sec\gamma|$ is given by

$\displaystyle |\sec\gamma| = \frac{1}{|\bold{n}_p\cdot\bold{k}|} = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}\cdots(32)$

Then assuming that $x = f(x, y)$ has continuous (or sectionally continuous) derivatives in $\cal R$, (31) can be written in rectangular form as

$\displaystyle \underset{\cal R}{\iint}\phi(x, y, z)\sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}dxdy \cdots(33)$

In case the equation for $S$ is given as $F(x, y, z) = 0$, (33) can also be written

$\displaystyle \underset{S}{\iint}\phi(x, y, z)\frac{\sqrt{(F_x)^2 + (F_y)^2 + (F_z)^2}}{|F_z|}dxdy\cdots(34)$

The results (33) or (34) can be used to evaluate (30).

In the above we have assumed that $S$ is such that any line parallel to the $z$ axis intersects $S$ in only one point. In case $S$ is not of this type, we can usually subdivide $S$ into surfaces $S_1,\ S_2,\ \dots$ which are of this type. Then the surface integral over $S$ is defined as the sum of the surface integrals over $S_1,\ S_2,\ \dots$

The results stated hold when $S$ is projected on to a region $\cal R$ of the $xy$ plane. In some cases it is better to project $S$ on to the $yz$ or $xz$ planes. For such cases (30) can be evaluated by appropriately modifying (33) and (34).

## 面積分

$S$ を Fig. 6-3 に示すように $xy$ 平面への射影 $\cal R$ を有する表裏のある面とします． $S$ を表す式を $z = f(x, y)$ とし， $f$ は単一値で，$\cal R$ において全ての $x$ および $y$ について連続であると仮定します． $\cal R$$n$ 個の領域 $\Delta A_p,\ p = 1,\ 2,\ \dots,\ n$ に細分化し，各々の小領域の上に垂直な柱を立て，領域 $\Delta S_p$ において $S$ と交差させます．

$\phi (x, y, z)$ を単一値で $S$ 上のあらゆる点で連続であるとします．次の和を考えます．

$\displaystyle \sum_{p=1}^{n}\phi(\xi_p, \eta_p, \zeta_p)\Delta S_p \cdots(29)$

ここで $(\xi_p, \eta_p, \zeta_p)$$\Delta S_p$ 上の任意の点です．仮に $n \rightarrow \infty$ の時各々の $\Delta S_p \rightarrow 0$ となるこの和の極限が存在するなら，結果の極限は $\phi(x, y, z)$$S$ 上の 面積分 と呼ばれ，以下により指定されます．

$\displaystyle \underset{S}{\iint}\phi(x, y, z)dS\cdots(30)$

およそ $\Delta S_p = |\sec\gamma_p|\Delta A_p$ であるため，ここで $\gamma_p$$S$ への法線および $z$ 軸とのなす角であり，和 (29) の極限は以下のように記述できます．

$\displaystyle \underset{\cal R}{\iint}\phi(x, y, z)|\sec\gamma|dA\cdots(31)$

$|\sec\gamma|$ の大きさは以下で得られます．

$\displaystyle |\sec\gamma| = \frac{1}{|\bold{n}_p\cdot\bold{k}|} = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}\cdots(32)$

そこで $x = f(x, y)$$\cal R$ において連続（又は区間的に連続）な微分係数を有していると仮定すると (31) は直交系においては次の形で記述できます．

$\displaystyle \underset{\cal R}{\iint}\phi(x, y, z)\sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}dxdy \cdots(33)$

$S$ の式が $F(x, y, z) = 0$ の形で与えられる場合は (33) は次の形で記述することもできます．

$\displaystyle \underset{S}{\iint}\phi(x, y, z)\frac{\sqrt{(F_x)^2 + (F_y)^2 + (F_z)^2}}{|F_z|}dxdy\cdots(34)$

その結果 (33) または (34) は (30) を評価するのに用いることができます．

上記においては $S$$z$ 軸に平行ないかなる線も面 $S$ とただ 1 点において交差するような面であることを前提としています．面 $S$ がこのタイプでない例においては，普通 $S$$S_1,\ S_2,\ \dots$ に分割してこのタイプにすることができます．そこで面 $S$ 上の面積分を $S_1,\ S_2,\ \dots$ 上の面積分の和と定義できます．

この結果は $S$$xy$ 平面 における領域 $\cal R$ への射影の時保持されます．場合によっては $S$$yz$ または $xz$ 平面に射影したほうが良いこともあります．そのような場合は (30) は (33) および (34) を適切に修正することで評価されます．

## CONDITIONS FOR A LINE INTEGRAL TO BE INDEPENDENT OF THE PATH

• Theorem 6-1.
• A necessary and sufficient condition for $\displaystyle \int_C [Pdx + Qdy]$ to be independent of the path $C$ joining any two given points in a region $\cal R$ is that in $\cal R$

$\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x\cdots (23)$

where it is supposed that these partial derivatives are continuous in $\cal R$.

The condition (23) is also the condition that $Pdx + Qdy$ is an exact differential, i.e. that there exists a function $\phi(x, y)$ such that $Pdx + Qdy = d\phi$. In such case if the end points of curve $C$ are $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$, the value of the line integral is given by

$\displaystyle \int_{(x_1, y_1)}^{(x_2, y_2)}[Pdx + Qdy] = \int_{(x_1, y_1)}^{(x_2, y_2)} d\phi = \phi(x_2, y_2) - \phi(x_1, y_1) \cdots(24)$

In particular if (23) holds and $C$ is closed, we have $x_1 = x_2,\ y_1 = y_2$ and

$\displaystyle \oint_C [Pdx + Qdy] = 0\cdots(25)$

The results in Theorem 6-1 can be extended to line integrals in space. Thus we have

• Theorem 6-2.
• A necessary and sufficient condition for $\displaystyle \int_C [A_1dx + A_2dy + A_3dz]$ to be independent of the path $C$ joining any two given points in a region $\cal R$ is that in $\cal R$

$\displaystyle \frac{\partial A_1}{\partial y} = \frac{\partial A_2}{\partial x},\ \frac{\partial A_3}{\partial x} = \frac{\partial A_1}{\partial z},\ \frac{\partial A_2}{\partial z} = \frac{\partial A_3}{\partial y} \cdots(26)$

where it is supposed that these partial derivatives are continuous in $\cal R$.

The results can be expressed concisely in terms of vectors. If $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$, the line integral can be written $\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r}$ and condition (26) is equivalent to the condition $\nabla \times \bold{A} = 0$. If $\bold{A}$ represents a force field $\bold{F}$ which acts on an object, the result is equivalent to the statement that the work done in moving the object from one point to another is independent of the path joining the two points if and only if $\nabla \times \bold{A} = 0$. Such a force field is often called conservative.

The condition (26) [or the equivalent condition $\nabla\times\bold{A}=0$] is also the condition that $A_1dx + A_2dy + A_3dz$ [or $\bold{A}\cdot\bold{r}$] is an exact differential, i.e. that there exists a function $\phi(x, y, z)$ such that $A_1dx + A_2dy + A_3dz =d\phi$. In such case if the endpoints of curve $C$ are $(x_1, y_1, z_1)$ and $(x_2, y_2, z_2)$, the value of the line integral is given by

$\displaystyle \int_{(x_1, y_1, z_1)}^{(x_2, y_2, z_2)}\bold{A}\cdot\bold{r} = \int_{(x_1, y_1, z_1)}^{(x_2, y_2, z_2)}d\phi = \phi(x_2, y_2, z_2)- \phi(x_1, y_1, z_1)\cdots(27)$

In particular if $C$ is closed and $\nabla\times\bold{A} = 0$, we have

$\displaystyle \oint_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = 0 \cdots(28)$

## 線積分が経路独立であるための条件

• 定理 6-1.
• 　$\displaystyle \int_C [Pdx + Qdy]$ が領域 $\cal R$ において与えられた任意の2点を結ぶ $C$ から経路独立であるための必要十分条件は $\cal R$ において

$\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x\cdots (23)$

ここで $\cal R$ における偏微分は連続と考えられます．

条件 (23) はまた $Pdx + Qdy$ が全微分であることの条件でもあります．すなわち， $Pdx + Qdy = d\phi$ のような形をした関数 $\phi(x, y)$ が存在することです．そのような場合，曲線 $C$ の末端を $(x_1, y_1)$ および $(x_2, y_2)$ とすると，積分値は以下により得られます．

$\displaystyle \int_{(x_1, y_1)}^{(x_2, y_2)}[Pdx + Qdy] = \int_{(x_1, y_1)}^{(x_2, y_2)} d\phi = \phi(x_2, y_2) - \phi(x_1, y_1) \cdots(24)$

特に，仮に (23) を満たし $C$ が閉曲線であるなら以下により $x_1 = x_2,\ y_1 = y_2$ が得られます．

$\displaystyle \oint_C [Pdx + Qdy] = 0\cdots(25)$

定理 6-1 の結果は空間における線積分にも応用できます．ゆえに以下が得られます．

• 定理 6-2.
• 　$\displaystyle \int_C [A_1dx + A_2dy + A_3dz]$ が領域 $\cal R$ において与えられた任意の2点を結ぶ $C$ から経路独立であるための必要十分条件は $\cal R$ において

$\displaystyle \frac{\partial A_1}{\partial y} = \frac{\partial A_2}{\partial x},\ \frac{\partial A_3}{\partial x} = \frac{\partial A_1}{\partial z},\ \frac{\partial A_2}{\partial z} = \frac{\partial A_3}{\partial y} \cdots(26)$

ここで $\cal R$ における偏微分は連続と考えられます．

その結果はベクトルの観点から簡潔に表現できます．$\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ とすると，線積分は $\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r}$ と記述でき，条件 (26) は条件 $\nabla \times \bold{A} = 0$ と等価です．仮に $\bold{A}$ が物体に作用する力場 $\bold{F}$ を表すとすると，その結果は物体をある点から他の点に移動するのになされた仕事の記述と等価であり， $\nabla \times \bold{A} = 0$ の時にのみ2点を結ぶ経路独立です．そのような力場のことを 保存力場 と呼びます．

条件 (26) （または条件 $\nabla\times\bold{A}=0$ と等価）は又 $A_1dx + A_2dy + A_3dz$ （又は $\bold{A}\cdot\bold{r}$ ）が全微分であるという条件でもあります．例えば $A_1dx + A_2dy + A_3dz =d\phi$ のような関数 $\phi(x, y, z)$ が存在します．そのような場合では仮に曲線 $C$ の末端を $(x_1, y_1, z_1)$ および $(x_2, y_2, z_2)$ とすると，線積分の値は以下により得られます．

$\displaystyle \int_{(x_1, y_1, z_1)}^{(x_2, y_2, z_2)}\bold{A}\cdot\bold{r} = \int_{(x_1, y_1, z_1)}^{(x_2, y_2, z_2)}d\phi = \phi(x_2, y_2, z_2)- \phi(x_1, y_1, z_1)\cdots(27)$

特に $C$ が閉曲線で $\nabla\times\bold{A} = 0$ とすると

$\displaystyle \oint_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = 0 \cdots(28)$

## GREEN’S THEOREM IN THE PLANE

Let $P,\ Q,\ \partial P/\partial y,\ \partial Q/\partial x$ be single-valued and continuous in a simply-connected region $\cal R$ bounded by a simple closed curve $C$. Then

$\displaystyle \oint_C [Pdx + Qdy] = \underset{\cal R}{\iint}\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy\cdots(22)$

where $\oint_C$ is used to emphasize that $C$ is closed and that it is described in the positive direction.

This theorem is also true for regions bounded by two or more closed curves (i.e. multiply-connected regions).

## 平面におけるグリーンの定理

$P,\ Q,\ \partial P/\partial y,\ \partial Q/\partial x$ を単一値かつ単純閉曲線 $C$ で囲まれた単連結領域 $\cal R$ において連続とします．すると

$\displaystyle \oint_C [Pdx + Qdy] = \underset{\cal R}{\iint}\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy\cdots(22)$

ここで $\oint_C$$C$ が閉じていること並びに正方向に記述されていることを強調するのに用いられます．

この定理は二つまたはそれ以上の閉曲線により囲まれた領域においても真です．（例　多重連結領域）

## SIMPLE CLOSED CURVES. SIMPLY AND MULTIPLY-CONNECTED REGIONS

A simple closed curve is a curve which does not intersect itself anywhere. Mathematically, a curve in the $xy$ plane is defined by the parametric equations $x = \phi(t),\ y = \psi(t)$ where $\phi$ and $\psi$ are single-valued and continuous in an interval $t_1 \le t \le t_2$. If $\phi(t_1) = \phi(t_2)$ and $\psi(t_1) = \psi(t_2)$, the curve is said to be closed. If $\phi(u) = \phi(v)$ and $\psi(u) = \psi(v)$ only when $u = v$ (except in the special case where $u = t_1$ and $v = t_2$), the curve is closed and does not intersect itself and so is a simple closed curve. We shall also assume, unless otherwise stated, that $\phi$ and $\psi$ are piecewise differentiable in $t_1 \le t \le t_2$.

If a plane region has the property that any closed curve in it can be continuously shrunk to a point without leaving the region, then the region is called simply-connected, otherwise it is called multiply-connected.

As the parameter $t$ varies from $t_1$ to $t_2$, the plane curve is described in a certain sense or direction. For curves in the $xy$ plane, we arbitrarily describe this direction as positive or negative according as a person traversing the curve in this direction with his head pointing in the positive $z$ direction has the region enclosed by the curve always toward his left or right respectively. If we look down upon a simple closed curve in the $xy$ plane, this amounts to saying that traversal of the curve in the counterclockwise direction is taken as positive while traversal in the clockwise direction is taken as negative.

## 単純閉曲線．単連結領域および多重連結領域

単純閉曲線 とは自分自身とはどことも交差しない曲線のことです．数学的には， $xy$ 平面において $x = \phi(t),\ y = \psi(t)$ なるパラメトリック方程式により定義される曲線のことです．ここで $\phi$ および $\psi$ は単一値で $t_1 \le t \le t_2$ の区間で連続です．仮に $\phi(t_1) = \phi(t_2)$ および $\psi(t_1) = \psi(t_2)$ ならその曲線を 閉曲線 と言います．仮に $\phi(u) = \phi(v)$ および $\psi(u) = \psi(v)$$u = v$ の時のみ（$u = t_1$ および $v = t_2$ のような特殊例を除く），その曲線は閉じており自身とは交差せず，ゆえに単純閉曲線です．ここでも特に明記しない限り，次のように前提を置きます．すなわち $\phi$ および $\psi$$t_1 \le t \le t_2$ では区間的に微分可能です．

仮にある平面領域が以下の属性を有する場合，つまりいかなる閉じた曲線もその領域を離れることなく一点に連続的に縮小可能ならば 単連結 と呼びます．それ以外の場合には 多重連結 と呼びます．

変数 $t$$t_1$ から $t_2$ に変化するにつれ，その平面曲線はある意味ある方向に記述されます．$xy$ 平面の曲線にとって，我々は任意にこの方向を または と記述します．これはある人がこの曲線をこの方向に通過する際にその頭が指す方向を正の $z$ 方向とすると，その曲線で囲まれた方向が進行方向の常に左にあるか右にあるかによります．仮に $xy$ 平面において単純閉曲線を見下ろすと，曲線を反時計回りに通過することが正であり，逆に時計回りに通過することが負であると言えます．

## PROPERTIES OF LINE INTEGRALS

Line integrals have properties which are analogous to those of ordinary integrals. For example:

1. $\displaystyle \int_C [P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = \int_C P(x, y)dx + \int_C Q(x, y)dy$
2. $\displaystyle \int_{(a_1, b_1)}^{(a_2, b_2)} [Pdx + Qdy] = - \int_{(a_2, b_2)}^{(a_1, b_1)}[Pdx + Qdy]$
3. Thus reversal of the path of integration changes the sign of the line integral.

4. $\displaystyle \int_{(a_1, b_1)}^{(a_2, b_2)} [Pdx + Qdy] = \int_{(a_1, b_1)}^{(a_3, b_3)} [Pdx + Qdy] + \int_{(a_3, b_3)}^{(a_2, b_2)} [Pdx + Qdy]$
5. where $(a_3, b_3)$ is another point on C.

Similar properties hold for line integrals in space.

## 線積分の属性

線積分には通常の積分と類似した属性があります．例えば，

1. $\displaystyle \int_C [P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = \int_C P(x, y)dx + \int_C Q(x, y)dy$
2. $\displaystyle \int_{(a_1, b_1)}^{(a_2, b_2)} [Pdx + Qdy] = - \int_{(a_2, b_2)}^{(a_1, b_1)}[Pdx + Qdy]$
3. ゆえに積分経路の逆転は線積分の符号の変化をもたらします．

4. $\displaystyle \int_{(a_1, b_1)}^{(a_2, b_2)} [Pdx + Qdy] = \int_{(a_1, b_1)}^{(a_3, b_3)} [Pdx + Qdy] + \int_{(a_3, b_3)}^{(a_2, b_2)} [Pdx + Qdy]$
5. ここで $(a_3, b_3)$ は曲線 C 上の他の点です．

空間内の線積分も同様の属性を有します．

## EVALUATION OF LINE INTEGRALS

If the equation of a curve C in the plane $z = 0$ is given as $y = f(x)$, the line integral (14) is evaluated by placing $y = f(x),\ dy = f'(x)dx$ in the integrand to obtain the definite integral

$\displaystyle \int_{a_1}^{a_2}[P\{x, f(x)\}dx + Q\{x, f(x)\}f'(x)dx] \cdots(19)$

which is then evaluated in the usual manner.

Similarly if C is given as $x = g(y)$, then $dx = g'(y)dy$ and the line integral becomes

$\displaystyle \int_{b_1}^{b_2}[P\{g(y), y\}g'(y)dy + Q\{g(y), y\}dy]\cdots(20)$

If C is given in parametric form $x = \phi(t),\ y = \psi(t)$, the line integral becomes

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} [P\{ \phi(t),\ \psi(t) \}\phi'(t)dt + Q\{ \phi(t),\ \psi(t) \}\psi'(t)dt] \cdots (21)$

where $t_1$ and $t_2$ denote the values of $t$ corresponding to points $A$ and $B$ respectively.

Combination of the above methods may be used in the evaluation.

Similar methods are used for evaluating line integrals along space curve.

## 線積分の評価

仮に平面 $z = 0$ における曲線 C の式が $y = f(x)$ で与えられるなら，積分の定義を得るために線積分 (14) は被積分関数内で $y = f(x),\ dy = f'(x)dx$ と置換されて評価されます．

$\displaystyle \int_{a_1}^{a_2}[P\{x, f(x)\}dx + Q\{x, f(x)\}f'(x)dx] \cdots(19)$

同様に仮に C$x = g(y)$ として与えられるなら $dx = g'(y)dy$ となり線積分は以下のようになります．

$\displaystyle \int_{b_1}^{b_2}[P\{g(y), y\}g'(y)dy + Q\{g(y), y\}dy]\cdots(20)$

仮に C がパラメーター形式 $x = \phi(t),\ y = \psi(t)$ で与えられるなら，線積分は以下のようになります．

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} [P\{ \phi(t),\ \psi(t) \}\phi'(t)dt + Q\{ \phi(t),\ \psi(t) \}\psi'(t)dt] \cdots (21)$

ここで $t_1$ および $t_2$ は点 $A$ および点 $B$ に対応する $t$ の値を示します．

上記方法の組み合わせを評価に用います．

同様の方法で空間曲線に沿った線積分の評価を行います．

## VECTOR NOTATION FOR LINE INTEGRALS

It is often convenient to express a line integral in vector form as an aid in physical or geometric understanding as well as for brevity of notation. For example, we can express the line integral (15) in the form

$\displaystyle \int_{C}[A_1dx + A_2dy + A_3dz] \\ = \int_{C} (A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}) \cdot (dx\bold{i} + dy\bold{j} + dz\bold{k})\\ = \int_{C} \bold{A}\cdot d\bold{r} \cdots (17)$

where $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ and $d\bold{r} = dx\bold{i} + dy\bold{j} + dz\bold{k}$. The line integral (14) is a special case of this with $z = 0$.

If at each point (x, y, z) we associate a force F acting on an object (i.e. if a force field is defined), then

$\displaystyle \int_{C} \bold{F}\cdot d\bold{r}\cdots(18)$

represents physically the total work done in moving the object along the curve C.

## 線積分のベクトル表記

簡潔な記法同様，物理学的・地理的な理解のために線積分をベクトルの形で表現することはしばしば便利です．例えば，線積分 (15) を次の形で表現できます．

$\displaystyle \int_{C}[A_1dx + A_2dy + A_3dz] \\ = \int_{C} (A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}) \cdot (dx\bold{i} + dy\bold{j} + dz\bold{k})\\ = \int_{C} \bold{A}\cdot d\bold{r} \cdots (17)$

ここで $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ および $d\bold{r} = dx\bold{i} + dy\bold{j} + dz\bold{k}$ です．線積分 (14) は $z = 0$ の時の特殊型です．

各点 (x, y, z) をある物体に作用する力 F と関連付けるなら（例　仮にある 力場 が定義されると)，

$\displaystyle \int_{C} \bold{F}\cdot d\bold{r}\cdots(18)$

## LINE INTEGRALS

Let C be a curve in the xy plane which connects points $A (a_1, b_1)$ and $B (a_2, b_2)$, (see Fig. 6-2). Let $P(x, y)$ and $Q(x, y)$ be single-valued functions defined at all points of C. Subdivide C into n parts by choosing n – 1 points on it given by $(x_1, y_1),\ (x_2, y_2),\ \dots,\ (x_{n-1}, y_{n-1})$. Call $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$ and $\Delta y_k = y_k - y_{k-1},\ k = 1,\ 2,\ \dots\ n$ and suppose that points $(\xi_k, \eta_k)$ are chosen so that they are situated on C between points $(x_{k-1}, y_{k-1})$ and $(x_k, y_k)$. Form the sum

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{P(\xi_k, \eta_k)\Delta x_k + Q(\xi_k, \eta_k)\Delta y_k\}\cdots(13)$

The limit of this sum as $n\rightarrow\infty$ in such a way that all quantities $\Delta x_k,\ \Delta y$ approaches zero, if such limit exists, is called a line integral along C and is denoted by

$\displaystyle \int_C \left[ P(x, y)dx + Q(x, y)dy \right]$ or $\displaystyle \int_{(a_1, b_1)}^{(a_2, b_2)}\left[ Pdx + Qdy \right]\cdots(14)$

The limit does exist if P and Q are continuous (or piecewise continuous) at all points of C. The value of the integral depends in general on P, Q, the particular curve C, and on the limits $(a_1, b_1)$ and $(a_2, b_2)$.

In an exactly analogous manner one may define a line integral along a curve C in three dimensional space as

$\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ A_1(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta x_k + A_2(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta y_k + A_3(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta z_k \right\} \\ = \int_C \left[ A_1dx + A_2dy + A_3dz \right] \cdots(15)$

where $A_1$, $A_2$ and $A_3$ are functions of $x$, $y$ and $z$.

Other types of line integrals, depending on particular curves, can be defined. For example, if $\Delta s_k$ denotes the arc length along curve C in the above figure between points $(x_k, y_k)$ and $(x_{k+1}, y_{k+1})$, then

$\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} U(\xi_k, \eta_k)\Delta s_k = \int_C U(x, y)ds\cdots(16)$

is called the line integral of $U(x, y)$ along curve C. Extensions to three (or higher) dimensions are possible.

## 線積分

Cxy 平面において 2 点 $A (a_1, b_1)$ および $B (a_2, b_2)$ をつなぐ曲線とします（Fig. 6-2参照）．$P(x, y)$ および $Q(x, y)$ を曲線 C 上のすべての点を定義する単一値関数とします． $(x_1, y_1),\ (x_2, y_2),\ \dots,\ (x_{n-1}, y_{n-1})$ により得られた n – 1 個の点を選択して Cn 個に細分化します．Call $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$ および $\Delta y_k = y_k - y_{k-1},\ k = 1,\ 2,\ \dots\ n$ を呼び，C 上にあり点 $(x_{k-1}, y_{k-1})$ および点 $(x_k, y_k)$ の間にあるような点 $(\xi_k, \eta_k)$ を想定します．以下のように和を形成します．

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{P(\xi_k, \eta_k)\Delta x_k + Q(\xi_k, \eta_k)\Delta y_k\}\cdots(13)$

仮に極限が存在するなら $n\rightarrow\infty$ となるにつれ全ての $\Delta x_k,\ \Delta y$ の量はゼロに近づき，この和の極限を C 周りの 線積分 と呼び，以下のように記述します．

$\displaystyle \int_C \left[ P(x, y)dx + Q(x, y)dy \right]$ または $\displaystyle \int_{(a_1, b_1)}^{(a_2, b_2)}\left[ Pdx + Qdy \right]\cdots(14)$

P および QC 上の全ての点について連続（または区間的に連続）ならこの極限は存在します．その積分値は一般に P, Q, 特に曲線 C に依存し，また $(a_1, b_1)$ および $(a_2, b_2)$ の極限に依存します．

正確に類似した方法で 3 次元空間における曲線 C 周りの線積分を以下のように定義できるでしょう．

$\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ A_1(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta x_k + A_2(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta y_k + A_3(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta z_k \right\} \\ = \int_C \left[ A_1dx + A_2dy + A_3dz \right] \cdots(15)$

ここで $A_1$, $A_2$ および $A_3$$x$, $y$ および $z$ の関数です．

他の種類の線積分，特に曲線に依存するものも定義可能です．例えば仮に $\Delta s_k$ が上図のように点 $(x_k, y_k)$ および点 $(x_{k+1}, y_{k+1})$ 間の曲線 C の弧長を記述するなら

$\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} U(\xi_k, \eta_k)\Delta s_k = \int_C U(x, y)ds\cdots(16)$