固有値と固有ベクトル

　 $A = (a_{jk})$ を $n \times n$ 行列とし $X$ を列ベクトルとしましょう．以下の方程式について

$AX = \lambda X \cdots (21)$

ここで $\lambda$ は数であり以下のように記述できます．

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{array} \right) = \lambda\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{array} \right) \cdots (22)$

あるいは

$\displaystyle \left. \begin{array}{ccc} (a_{11} - \lambda)x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n & = & 0 \\ a_{21}x_1 + (a_{22} - \lambda)x_2 + \cdots + a_{2n}x_n & = & 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots & = & 0 \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + (a_{nn} - \lambda)x_n & = & 0 \end{array}\right\} \cdots(23)$

　方程式 (23) は以下の場合にのみ非自明解が存在します．

$\displaystyle \left| \begin{array}{cccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right| = 0 \cdots(24)$

これは $\lambda$ における n 次多項式です．この方程式の根は行列 $A$ の 固有値 または 特性値 と呼びます．各々の固有値に対応して $X \ne 0$ なる解，すなわち非自明解が存在し，それらを固有値に属する 固有ベクトル または 特性ベクトル と呼びます．方程式 (24) はまたこのようにも記述できます．

$\det(A - \lambda I) = 0 \cdots(25)$

また $\lambda$ における方程式はしばしば 特性方程式 と呼びます．

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