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ストークスの定理

　S を表裏のある開いた面とし，閉じた交差しない曲線 C （単純閉曲線）で囲まれているとします． S に垂直な直線が S の一方の側にあれば正と考え， S の反対側にあれば負と考えます．いずれの面が正となるかは任意ですが，あらかじめ決めておく必要があります．仮に観察者が S の境界線上を歩きながら，その頭が正の法線方向を指していてその面を左に見ているなら C の方向または反時計周りを正と呼びます．そこで仮に A_1,\ A_2,\ A_3 が単一値で連続で， S を含む空間内のある領域において連続な一階偏微分を有するなら，以下を得ます．

\displaystyle \int_C[A_1dx + A_2dy + A_3dz] =\\\vspace{0.2in} \underset{S}{\iint}\left[ \left( \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} \right)\cos\alpha + \left( \frac{\partial A_1}{\partial z} -\frac{\partial A_3}{\partial x} \right)\cos\beta + \left( \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y} \right)\cos\gamma \right]dS \cdots(38)

　ベクトルの形では \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k} および \bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k} これは以下のように簡潔に表現できます．

\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = \underset{S}{\iint}(\nabla\times\bold{A})\cdot\bold{n}dS\cdots(39)

　つまりこの定理では， ストークスの定理 と呼びますが，単純閉曲線 C に渡るベクトル \bold{A} の接線要素の線積分は， C を境界とする任意の面 S に渡るベクトル A の回転の法線要素の面積分に等しいと言えます．特殊例として (39) において \nabla\times\bold{A} = 0 とした場合，その結果 (28) を得ることに注意が必要です．

単純閉曲線．単連結領域および多重連結領域

　単純閉曲線 とは自分自身とはどことも交差しない曲線のことです．数学的には， xy 平面において x = \phi(t),\ y = \psi(t) なるパラメトリック方程式により定義される曲線のことです．ここで \phi および \psi は単一値で t_1 \le t \le t_2 の区間で連続です．仮に \phi(t_1) = \phi(t_2) および \psi(t_1) = \psi(t_2) ならその曲線を 閉曲線 と言います．仮に \phi(u) = \phi(v) および \psi(u) = \psi(v) が u = v の時のみ（u = t_1 および v = t_2 のような特殊例を除く），その曲線は閉じており自身とは交差せず，ゆえに単純閉曲線です．ここでも特に明記しない限り，次のように前提を置きます．すなわち \phi および \psi は t_1 \le t \le t_2 では区間的に微分可能です．

　仮にある平面領域が以下の属性を有する場合，つまりいかなる閉じた曲線もその領域を離れることなく一点に連続的に縮小可能ならば 単連結 と呼びます．それ以外の場合には 多重連結 と呼びます．

Fig6-xx

　変数 t が t_1 から t_2 に変化するにつれ，その平面曲線はある意味ある方向に記述されます．xy 平面の曲線にとって，我々は任意にこの方向を 正 または 負 と記述します．これはある人がこの曲線をこの方向に通過する際にその頭が指す方向を正の z 方向とすると，その曲線で囲まれた方向が進行方向の常に左にあるか右にあるかによります．仮に xy 平面において単純閉曲線を見下ろすと，曲線を反時計回りに通過することが正であり，逆に時計回りに通過することが負であると言えます．